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sábado, 6 de julho de 2013

Números primos

 Número primo, é um número que o conjunto dos divisores de p, que não são inversíveis, não é vazio, e todos seus elementos são produtos de p por inteiros inversíveis. Por definição, 0, 1 e -1 não são números primos.
Um número inteiro primo, é aquele que tem exatamente quatro divisores distintos, p \in \mathbb{Z}: \pm 1 e \pm p.. Já um número natural primo tem exatamente dois divisores naturais distintos: o número um e ele mesmo1 .

A propriedade de ser um primo é chamada "primalidade", e a palavra "primo" também é utilizada como substantivo ou adjetivo, se um número inteiro tem módulo maior que um e não é primo, diz-se que é composto (0, 1 e -1 também não são compostos). Como "dois" é o único número primo par, o termo "primo ímpar" refere-se a todo primo maior do que dois.

Existem infinitos números primos, como demonstrado por Euclides por volta de 300 a.C..2 O conceito de número primo é muito importante na teoria dos números. Um dos resultados da teoria dos números é o Teorema Fundamental da Aritmética, que afirma que qualquer número natural diferente de 1 pode ser escrito de forma única (desconsiderando a ordem) como um produto de números primos (chamados fatores primos): este processo se chama decomposição em fatores primos (fatoração).
Existem 168 números primos positivos menores do que 1000. São eles:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991 e 997.
Exemplos de decomposições:
  • 4 = 2 \times 2
  • 6 = 2 \times 3
  • 8 = 2 \times 2 \times 2
  • 9 = 3 \times 3
  • 10 = 2 \times 5
  • 472.342.734.872.390.487 = 3 \times 7 \times 827 \times 978.491 \times 27.795.571

Os átomos da aritmética[editar]

Os gregos foram os primeiros a perceber que qualquer número natural, exceto o 1, pode ser gerado pela multiplicação de números primos, os chamados blocos de construção". A primeira pessoa, até onde se sabe, que produziu tabelas de números primos foiEratóstenes, no terceiro século a.C. Ele escrevia inicialmente uma lista com todos os números de 1 a 1000. Em seguida escolhia o primeiro primo, 2, e eliminava da lista todos os seus múltiplos. Passava ao número seguinte que não fora eliminado e procedia também eliminando todos os seus múltiplos. Desta forma Eratóstenes produziu tabelas de primos, mais tarde este procedimento passou a se chamar de crivo de Eratóstenes.
Durante o século XVII os matemáticos descobriram o que acreditavam ser um método infalível para determinar se um número N era primo: calcule 2 elevado a potência N e divida-o por N, se o resto for 2, então o número será primo. Em termos da calculadora-relógio de Gauss, esses matemáticos estavam tentando calcular 2^N em um relógio com N horas. Em 1819, o teste dos números primos foi eliminado, pois funciona para todos os números até 340, mas falha para 341 = 11 \times 31. Exceção descoberta com uma calculadora-relógio de Gauss contendo 341 horas utilizada para simplificar a análise de um número como 2^{341}.

Teoremas dos números primos[editar]

Existem vários teoremas e estudos sobre os números primos, desde resultados tratados na matemática elementar, até conjecturas que não foram provadas.

Matemática elementar[editar]

Alguns resultados que podem ser demonstrados com ferramentas elementares (para ver as demonstrações, consulte Vianna1 ):
  • Se um número primo divide um produto, mas não divide um dos fatores, então ele divide o outro fator
  • Se um número primo divide a potência de outro número, então ele divide este número
  • Se um número é múltiplo, então ele tem pelo menos um fator primo

Teoria dos números[editar]

Sabe-se que, à medida que avançamos na sequência dos números inteiros, os primos tornam-se cada vez mais raros. Isto levanta duas questões:
O conjunto dos números primos seria finito ou infinito?
Dado um número natural n, qual é a proporção de números primos entre os números menores que n?
  • A resposta à primeira questão é que o conjunto dos primos é infinito, um resultado conhecido na parte central dos Elementos deEuclides, que lida com as propriedades dos números. Na proposição 20, Euclides explica uma verdade simples porém fundamental sobre os números primos: existe um número infinito deles. Pode-se demonstrar, em notação moderna, da seguinte forma:
Suponha, por absurdo, que o número de primos seja finito e sejam  p_1,\ p_2,\ p_3,\ ...,\ p_n os primos. Seja  P  o número tal que
P = \prod_{i=1}^n p_i + 1, onde \prod denota o produtório.
Se P é um número primo, é necessariamente diferente dos primos  p_1,\ p_2,\ p_3,\ ...,\ p_n, pois sua divisão por qualquer um deles tem um resto de 1.
Por outro lado, se P é composto, existe um número primo  q  tal que  q  é divisor de  P .
Mas obviamente  q \ne\ p_1,\; p_2,\; ...,\; p_n. Logo existe um novo número primo.
Há um novo número primo, seja P primo ou composto; este processo pode ser repetido indefinidamente, logo há um número infinito de números primos.
Uma outra prova envolve considerar um número inteiro n > 1. Temos n + 1 que, necessariamente, é coprimo de n (números coprimos são os que não têm nenhum fator comum maior do que 1). Provamos isto imaginando que a divisão do menor pelo maior tem resultado 0 e resto  n  e do maior pelo menor tem resultado 1 e resto 1. Assim, n (n + 1) tem, necessariamente, ao menos dois factores primos.
Tomemos o sucessor deste, que representamos como n (n + 1) + 1. Pelo mesmo raciocínio, ele é coprimo a n (n + 1).Ao multiplicar os dois números, temos [n (n + 1)] * [n + (n + 1) + 1]. Como um de seus fatores tem pelo menos dois factores primos diferentes e é coprimo ao outro, o resultado da multiplicação tem pelo menos três factores primos distintos. Este raciocínio também pode ser infinitamente estendido.
  • A resposta para a segunda pergunta acima é que essa proporção é aproximadamente \frac{n}{\ln (n)}, onde \ln é o logaritmo natural.
  • Para qualquer inteiro k, existem k inteiros consecutivos todos compostos.
  • O produto de qualquer sequência de k inteiros consecutivos é divisível por k!
  • Se k não é primo, então k possui, necessariamente, um fator primo menor do que ou igual a \sqrt{k}.
  • Todo inteiro maior que 1 pode ser representado de maneira única como o produto de fatores primos

Grupos e sequências de números primos[editar]

Pierre de Fermat (1601-1665) descobriu que todo número primo da forma 4n + 1, tal como 5,13,17,29,37,41, etc., é a soma de dois quadrados. Por exemplo:
5 = 1^2 + 2^2,
13 = 2^2 + 3^2,
17 = 1^2 + 4^2,
29 = 2^2 + 5^2,
37 = 1^2 + 6^2,
41 = 4^2 + 5^2.
Hoje são conhecidos dois grupos de números primos:
  • (4n+1) - que podem sempre ser escritos na forma (x^2+y^2); e
  • (4n-1) - nunca podem ser escritos na forma (x^2+y^2).
Tratando-se de números primos é perigoso fazer uma generalização apenas com base numa observação, não solidamente comprovada matematicamente. Vejamos o exemplo: 31, 331, 3.331, 33.331, 333.331, 3.333.331 e 33.333.331 são primos mas 333.333.331 não é, pois (333.333.331 = 17 x 19.607.843).
Um olhar mais atento na forma como se distribuem os números primos revela que não há uma regularidade nesta distribuição. Por exemplo existem longos buracos entre os números primos, o número 370.261 é seguido de cento e onze3 números compostos e não existem4 primos entre os números 20.831.323 e 20.831.533.
Essa irregularidade na distribuição dos números primos é uma das razões[carece de fontes] de não existir uma fórmula matemática que produza todos os números primos[carece de fontes].
Algumas fórmulas produzem muitos números primos, por exemplo x^2 - x + 41 fornece primos quando x=0,\ 1,\ 2,\ ..., \ 405 6 . Veja que para x = 41, a fórmula resulta em  41^2  que não é primo.
Não existe uma fórmula que forneça primos para todos os valores primos de x, de fato em 1.752 Goldbach provou que não há umaexpressão polinomial em x com coeficientes inteiros que possa fornecer primos para todos os valores de x.
Não se sabe se há uma expressão polinomial ax^2+bc+c com a \ne 0 que represente infinitos números primos. Dirichlet usou métodos para provar que se a, 2b e c não têm fator primo em comum, a expressão polinomial a duas variáveis
ax^2 + 2bxy + cy^2
representa infinitos primos, quando x e y assumem valores positivos inteiros.
Fermat pensou que a fórmula 2^{2^n} + 1 forneceria números primos para n = 0,\ 1,\ 2,\ .... Este números são chamados denúmeros de Fermat e são comumente denotados por F_n. Os cinco primeiros números são:
F_0 = 3,\; F_1 = 5,\; F_2 = 17,\; F_3 = 257\; e \;F_4 = 65.537,
sendo todos primos.

Aproximações para o n-ésimo primo[editar]

Como consequência do teorema do número primo , uma expressão assintótica para o n-ésimo primo pn é:
p_n \sim n \ln n.
Uma aproximação melhor é:
{ p_n = n \ln n + n \ln \ln n - n + \frac{n}{\ln n} \left(\ln \ln n - 2 \right) - \frac{n\ln\ln n}{2(\ln n)^2}\left(\ln\ln n-6\right) + O\left( \frac {n} {(\ln n)^2}\right).}7
O teorema de Rosser mostra que pn é maior que n ln n. É possível melhorar esta aproximação com os limites 8 9 :
n \ln n + n(\ln\ln n - 1) < p_n < n \ln n + n \ln \ln n \quad\mbox{for } n \ge 6.

Maior número primo jresumoá calculado[editar]

Em Janeiro de 2013, foi divulgado o maior número primo já calculado. Tem 17 425 170 dígitos que, se fosse escrito por extenso, ocuparia 3,4 mil páginas impressas com 5 mil caracteres cada.
É o número 257885161-1
Foi descoberto por Curtis Cooper, da Universidade Central do Missouri em Warrensburg, EUA, como parte do Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS), um projeto internacional de computação compartilhada desenhado para encontrar números primos de Mersene10 

resumo

Números Primos
Números primos são os números naturais que têm apenas dois divisores diferentes: o 1 e ele mesmo.
        Exemplos:
            1) 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um número primo.
            2) 17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto 17 é um número primo.
            3) 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 não é um número primo.
        Observações:
        => 1 não é um número primo, porque ele tem apenas um divisor que é ele mesmo.
        => 2 é o único número primo que é par.
        Os números que têm mais de dois divisores são chamados números compostos.
        Exemplo: 15 tem mais de dois divisores => 15 é um número composto.
  • Reconhecimento de um número primo
            Para saber se um número é primo, dividimos esse número pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11 etc. até que tenhamos:
            =>  ou uma divisão com resto zero e neste caso o número não é primo,
            =>  ou uma divisão com quociente menor que o divisor e o resto diferente de zero. Neste caso o número é primo.
Exemplos:
1) O número 161:
  • não é par, portanto não é divisível por 2;
  • 1+6+1 = 8, portanto não é divisível por 3;
  • não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;
  • por 7:  161 / 7 = 23, com resto zero, logo 161 é divisível por 7, e portanto não é um número primo.
2) O número 113:
  • não é par, portanto não é divisível por 2;
  • 1+1+3 = 5, portanto não é divisível por 3;
  • não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;
  • por 7:  113 / 7 = 16, com resto 1. O quociente (16) ainda é maior que o divisor (7).
  • por 11:  113 / 11 = 10, com resto 3. O quociente (10) é menor que o divisor (11), e além disso o resto é diferente de zero (o resto vale 3), portanto 113 é um número primo.


 Anexo





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